Упр.6.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, у которого диагональ $$AC$$ является биссектрисой углов $$A$$ и $$C$$. Тогда

$$\angle BAC=\angle CAD,\qquad \angle BCA=\angle ACD.$$

Так как в параллелограмме противолежащие стороны параллельны, то $$AB\parallel CD$$ и $$BC\parallel AD$$. Поэтому

$$\angle BAC=\angle ACD,\qquad \angle BCA=\angle CAD.$$

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ равнобедренные с основанием $$AC$$, а значит,

$$AB=BC,\qquad CD=DA.$$

Кроме того, из равенства треугольников $$ABC$$ и $$CDA$$ по стороне и двум прилежащим углам получаем

$$AB=CD,\qquad BC=DA.$$

Тогда все стороны параллелограмма равны:

$$AB=BC=CD=DA.$$

Значит, $$ABCD$$ — ромб.

Ответ

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то этот параллелограмм — ромб.