Упр.3.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 3-34. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них.

Пусть $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — треугольники, у которых $$AB=A_1B_1$$, $$BC=B_1C_1$$ и $$CM=C_1M_1$$, где $$CM$$ и $$C_1M_1$$ — медианы.

Так как $$CM$$ и $$C_1M_1$$ — медианы, то точки $$M$$ и $$M_1$$ — середины сторон $$AB$$ и $$A_1B_1$$. Следовательно,

$$AM=MB=\frac{AB}{2}, \qquad A_1M_1=M_1B_1=\frac{A_1B_1}{2}.$$

Из равенства $$AB=A_1B_1$$ получаем

$$AM=A_1M_1,\qquad MB=M_1B_1.$$

Рассмотрим треугольники $$CBM$$ и $$C_1B_1M_1$$. В них

$$CB=B_1C_1,\qquad BM=B_1M_1,\qquad CM=C_1M_1.$$

Значит, $$\triangle CBM \cong \triangle C_1B_1M_1$$ по трём сторонам. Отсюда

$$\angle CBM=\angle C_1B_1M_1.$$

Так как точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, а точки $$A_1, M_1, B_1$$ — на одной прямой, то

$$\angle CBA=\angle C_1B_1A_1.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем

$$AB=A_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad \angle CBA=\angle C_1B_1A_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

Ответ

Треугольники равны.