Упр.5.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: высоты данного треугольника;
Построение:
1) Пусть дан треугольник ABC.
2) Проведем перпендикуляр CC1 к стороне AB, для чего:
— Из точки A проведем окружность радиуса AC:
— Из точки B проведем окружность радиуса BC;
— Эти окружности пересекуться в точках C и C2;
— На пересечении отрезка CC2 и прямой AB отметим точку C1;
3) Отрезок CC2 перпендикулярен прямой AB, так как общая хорда
двух пересекающихся окружностей и прямая, на которой лежат центры
этих окружностей (задача 14 данного параграфа);
4) Аналогично проведем перендикуляры AA1 и BB1;
5) Высоты AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC построены

Подробный ответ

Пусть дан треугольник $$ABC$$.

Построим высоту $$CC_1$$ к стороне $$AB$$. Для этого из точек $$A$$ и $$B$$ проведём окружности радиусов $$AC$$ и $$BC$$. Они пересекутся в точках $$C$$ и $$C_2$$. Тогда прямая $$CC_2$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$, а значит, $$CC_2 \perp AB$$. Обозначим точку пересечения $$CC_2$$ с прямой $$AB$$ через $$C_1$$.

Аналогично строим высоты $$AA_1$$ и $$BB_1$$: проводим через вершины $$A$$ и $$B$$ перпендикуляры к противоположным сторонам треугольника.

Таким образом, высоты $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$ построены.