Упр.10.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите углы треугольника с вершинами \(A\left(0;\sqrt{3}\right)\), \(B\left(2;\sqrt{3}\right)\), \(C\left(\frac{3}{2};\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\).

Найдём углы треугольника по координатам его вершин.

Сначала вычислим векторы сторон, выходящих из точки $$A$$:

$$\overrightarrow{AB}=(2-0;\,\sqrt3-\sqrt3)=(2;0),$$

$$\overrightarrow{AC}=\left(\frac32-0;\,-\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3\right)=\left(\frac32;\,-\frac{3\sqrt3}{2}\right).$$

Их длины:

$$|AB|=\sqrt{2^2+0^2}=2,$$

$$|AC|=\sqrt{\left(\frac32\right)^2+\left(-\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac94+\frac{27}{4}} =\sqrt{\frac{36}{4}}=3.$$

По формуле скалярного произведения:

$$\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|AB|\cdot|AC|}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot\frac32+0\cdot\left(-\frac{3\sqrt3}{2}\right)=3,$$

$$\cos A=\frac{3}{2\cdot 3}=\frac12,$$

значит, $$\angle A=60^\circ.$$

Теперь найдём угол $$B$$:

$$\overrightarrow{BA}=(-2;0),$$

$$\overrightarrow{BC}=\left(\frac32-2;\,-\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3\right)=\left(-\frac12;\,-\frac{3\sqrt3}{2}\right).$$

Длины:

$$|BA|=2,$$

$$|BC|=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac14+\frac{27}{4}} =\sqrt{\frac{28}{4}}=\sqrt7.$$

Тогда

$$\cos B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|BA|\cdot|BC|}= \frac{(-2)\cdot\left(-\frac12\right)+0\cdot\left(-\frac{3\sqrt3}{2}\right)}{2\sqrt7} =\frac{1}{2\sqrt7}.$$

Следовательно, $$\angle B\approx 79^\circ 6′.$$

Осталось найти угол $$C$$:

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-60^\circ-79^\circ 6’=40^\circ 54′.$$

Ответ: $$\angle A=60^\circ,\ \angle B\approx 79^\circ 6′,\ \angle C\approx 40^\circ 54′.$$