Упр.14.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: треугольник со сторонами 13 см,14 см и 15 см;
Найти: высоты этого треугольника;
Решение:
1) Пусть a=13 см, b=14 см, c=15 см-стороны этого треугольника,
а ha, hb, hc-высоты.проведенные соответственно к этим сторонам;
2) Полупериметр: p=(a+b+c)/2=(13+14+15)/2=42/2=21 см;
3) Найдем площадь данного треугольника по формуле Герона:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c) )=v(21•(21-13)•(21-14)•(21-15) )=
=v(21•8•7•6)=v(7•3•4•2•7•3•2)=7•3•2•2=84 см^2;
4) Найдем высоты этого треугольника:
S=1/2•aha, отсюда ha=2S/a=(2•84)/13=168/13=12 12/13 см;
S=1/2•bhb, отсюда hb=2S/b=(2•84)/14=168/14=12 см;
S=1/2•chc, отсюда hc=2S/c=(2•84)/15=168/15=11,2 см;
Ответ: 12 12/13 см; 12 см; 11,2 см.

Подробный ответ

Пусть стороны треугольника равны $$a=13\text{ см},\ b=14\text{ см},\ c=15\text{ см}.$$ Обозначим высоты, проведённые к этим сторонам, через $$h_a,\ h_b,\ h_c.$$

Найдём полупериметр:

$$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{13+14+15}{2}=\frac{42}{2}=21\text{ см}.$$

По формуле Герона площадь треугольника равна:

$$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)} $$

$$ S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7\cdot 3\cdot 4\cdot 2\cdot 7\cdot 3\cdot 2}=84\text{ см}^2. $$

Теперь найдём высоты по формуле площади треугольника:

$$S=\frac12 ah_a,\qquad S=\frac12 bh_b,\qquad S=\frac12 ch_c.$$

Тогда

$$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot 84}{13}=\frac{168}{13}=12\frac{12}{13}\text{ см},$$

$$h_b=\frac{2S}{b}=\frac{2\cdot 84}{14}=\frac{168}{14}=12\text{ см},$$

$$h_c=\frac{2S}{c}=\frac{2\cdot 84}{15}=\frac{168}{15}=11{,}2\text{ см}.$$