Упр.13.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом 12 дм;
точка касания делит боковую сторону в отношении 9:4;
Найти: среднюю линию трапеции;
Решение:
1) Пусть ABCD-данная равнобокая трапеция с основаниями AD и BC,
стороны которой равны: AD=a, BC=b и AB=CD=c;
2) По свойству описанного четырехугольника:
AD+BC=AB+CD, то есть a+b=2c;
3) По теореме 6.8 средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
(AD+BC)/2=(a+b)/2=2c/2=c, то есть в данном случае боковой стороне;
4) Рассмотрим параллельные прямые AD и BC и секущую AB:
угол B=180°- угол A (как внутренние односторонние углы);
5) Отметим точку O-центр вписанной в трапецию ABCD окружности,
так как центр окружности равноудален от всех сторон описанного
четырехугольника, то точка O лежит на пересечении биссектрис данной
трапеции, значит: OA-биссектриса угла A и OB биссектриса угла B;
6) Пусть угол A=Альфа, тогда угол B=180°-Альфа;
7) Рассмотрим треугольник BOA:
угол BAO=1/2 угол A=Альфа/2 и угол ABO=1/2 угол B=90°-Альфа/2;
угол AOB=180°- угол BAO- угол ABO=180°-Альфа/2-90°+Альфа/2=90°;
8) Опустим из точки O перпендикуляр OE на сторону AB, тогда:
OE=r=12 дм и AE:BE=9:4;
9) Пусть одна часть боковой стороны равна x, тогда: AE=9x и BE=4 x;
10) В прямоугольном треугольнике BOA отрезок OE является высотой,
опущенной на гипотенузу, значит согласно доказанному в контрольном
вопросе 11 параграфа 11 он является средним пропорциональным между
проекциями катетов OA и OB на гипотенузу AB.
11) Найдем длину средней линии

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$, причём $$AB=CD=c$$, $$AD=a$$, $$BC=b$$.

Так как трапеция описана около окружности, то по свойству описанного четырёхугольника

$$AD+BC=AB+CD,$$

то есть

$$a+b=2c.$$

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$m=\frac{AD+BC}{2}=\frac{a+b}{2}=c.$$

Значит, нужно найти боковую сторону $$AB$$.

Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности. Тогда $$O$$ лежит на биссектрисах углов трапеции. Опустим из точки $$O$$ перпендикуляр $$OE$$ на сторону $$AB$$. Тогда $$OE=r=12$$ дм.

Точка касания делит боковую сторону в отношении $$9:4$$, значит

$$AE:EB=9:4.$$

Обозначим $$AE=9x$$, $$EB=4x$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AOB$$ отрезок $$OE$$ — высота к гипотенузе $$AB$$, поэтому

$$OE^2=AE\cdot EB.$$

Подставим значения:

$$12^2=9x\cdot 4x,$$

$$144=36x^2,$$

$$x=2.$$

Тогда

$$AB=AE+EB=9x+4x=13x=26$$ дм.

Следовательно, средняя линия трапеции равна $$26$$ дм.