Упр.6.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, у которого диагонали $$AC$$ и $$BD$$ перпендикулярны и пересекаются в точке $$O$$.

По свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Так как $$AC \perp BD$$, то треугольники $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$ — прямоугольные. В них соответственно равны катеты:

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Следовательно, эти прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Тогда их гипотенузы равны:

$$AB=BC=CD=DA.$$

Итак, у параллелограмма $$ABCD$$ все стороны равны, значит, он является ромбом.

Ответ: если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.