Упр.9.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: прямые AB и CD параллельны; точки A и D лежат по разные
стороны от секущей BC;
Доказать: лучи BA и CD противоположно направлены;
Доказательство:
1) Подвергнем луч CD параллельному переносу, при котором точка C
переходит в точку B;
2) При таком переносе прямые AB и CD совместятся (так как они
параллельны и у них появилась общая точка);
3) Таким образом, точка D будет лежать на прямой AB, но по другую
сторону от точки A относительно точки B, следовательно луч BD
является дополнительным у лучу BA;
4) Так как точка C совместилась с точкой B, то луч CD совместился с
лучом BD, значит лучи BA и CD противоположно направлены, что и
требовалось доказать.

Подробный ответ

Подвергнем луч $$CD$$ параллельному переносу, при котором точка $$C$$ переходит в точку $$B$$.

При таком переносе прямая $$CD$$ перейдёт в прямую, проходящую через точку $$B$$ и параллельную $$CD$$. Но так как $$AB \parallel CD$$ и через точку $$B$$ проходит прямая $$AB$$, то образ прямой $$CD$$ совпадёт с прямой $$AB$$.

Следовательно, точка $$D$$ перейдёт в некоторую точку прямой $$AB$$. Поскольку точки $$A$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от секущей $$BC$$, эта точка лежит на прямой $$AB$$ по другую сторону от точки $$B$$ относительно точки $$A$$. Значит, луч $$BD$$ является дополнительным к лучу $$BA$$.

Так как точка $$C$$ при переносе переходит в точку $$B$$, то луч $$CD$$ переходит в луч $$BD$$. Поэтому лучи $$BA$$ и $$CD$$ противоположно направлены.