Упр.11.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что биссектрисы треугольника DEF в задаче 32 лежат на высотах треугольника ABC.

Из решения предыдущей задачи имеем:

$$\angle CDE=\angle BDF=\angle A,$$

$$\angle AED=\angle CED=\angle B,$$

$$\angle AFE=\angle BFD=\angle C,$$

а также

$$\angle D=180^\circ-2\angle A,\qquad \angle E=180^\circ-2\angle B,\qquad \angle F=180^\circ-2\angle C.$$

Рассмотрим высоту $$AD$$. Тогда

$$\angle ADE=\angle ADC-\angle CDE=90^\circ-\angle A.$$

Но

$$\frac{1}{2}\angle D=\frac{1}{2}\left(180^\circ-2\angle A\right)=90^\circ-\angle A,$$

значит, $$\angle ADE=\frac{1}{2}\angle D$$. Следовательно, биссектриса угла $$D$$ лежит на высоте $$AD$$.

Аналогично для высоты $$BE$$:

$$\angle BEF=\angle BEA-\angle AEF=90^\circ-\angle B,$$

и

$$\frac{1}{2}\angle E=\frac{1}{2}\left(180^\circ-2\angle B\right)=90^\circ-\angle B.$$

Значит, $$\angle BEF=\frac{1}{2}\angle E$$, то есть биссектриса угла $$E$$ лежит на высоте $$BE$$.

Наконец, для высоты $$CF$$:

$$\angle CFE=\angle CFA-\angle AFE=90^\circ-\angle C,$$

и

$$\frac{1}{2}\angle F=\frac{1}{2}\left(180^\circ-2\angle C\right)=90^\circ-\angle C.$$

Следовательно, $$\angle CFE=\frac{1}{2}\angle F$$, значит биссектриса угла $$F$$ лежит на высоте $$CF$$.

Таким образом, все биссектрисы треугольника $$DEF$$ лежат на высотах треугольника $$ABC$$, что и требовалось доказать.