Упр.4.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: внешний угол равнобедренного треугольника равен 70°;
Найти: углы треугольника;
Решение:
1) Пусть ABC-равнобедренный треугольник с основанием AC;
2) У равнобедренного треугольника углы при основании равны:
угол A = углу C;
3) Сумма внешнего и внутреннего углов треугольника при одной
вершине равна 180° (так как углы смежные), значит угол при
этой вершине равен:
180°-70°=110°-так как угол тупой, то он лежит против основания,
то есть угол B=110°;
3) Согласно теореме 4.5 внешний угол треугольника равен сумме
внутренних углов не смежных с ним:
угол A+ угол C=70°;
2угол A=70°, отсюда угол C = углу A=70/2=35°;
Ответ: 35°; 35°; 70°.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$AC$$. Тогда углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C.$$

Внешний и внутренний углы при одной вершине смежные, значит их сумма равна $$180^\circ$$. Тогда внутренний угол при этой вершине равен:

$$180^\circ-70^\circ=110^\circ.$$

Этот угол не может быть углом при основании, так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны и их сумма вместе с третьим углом должна давать $$180^\circ$$. Следовательно, $$\angle B=110^\circ$$.

По теореме о внешнем угле треугольника:

$$\angle A+\angle C=70^\circ.$$

Так как $$\angle A=\angle C$$, получаем:

$$2\angle A=70^\circ,$$

откуда

$$\angle A=\angle C=35^\circ.$$

Проверка:

$$35^\circ+35^\circ+110^\circ=180^\circ.$$