Упр.13.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: около равнобокой трапеции можно описать окружность и
наоборот: если около трапеции можно описать окружность, то она
равнобокая;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данная равнобокая трапеция с основаниями AD и BC;
2) Как было доказано в задаче 6.60, углы при основаниях равнобокой
трапеции равны, значит: угол A = углу D и угол B = углу C;
3) угол A+ угол C = углу B+ угол D, значит около равнобокой трапеции можно
описать окружность по признаку вписанного четырехугольника, что
и требовалось доказать.
4) Обратно: пусть около трапеции ABCD с основаниями AD и BC можно
описать окружность, тогда по свойству вписанного четырехугольника:
угол A+ угол C = углу B+ угол D=180°;
5) Рассмотрим параллельные прямые AD и BC и секущую CD:
угол C+ угол D=180° (как внутренние односторонние углы);
6) угол A+ угол C = углу C+ угол D=180°, отсюда угол A = углу D;
7) Через точку C проведем прямую, параллельную прямой AB и
пересекающую основание AD в точке E;
8) Четырехугольник ABCE-параллелограмм, значит: AB=CE;
9) Рассмотрим параллельные прямые AB и CE и секущую AE:
угол A = углу CED (как соответственные углы), тогда угол D = углу A = углу CED;
10) Треугольник ACD-равнобедренный с основанием ED, отсюда:
CE=CD, тогда AB=CE=CD, значит трапеция ABCD-равнобокая,
что и требовалось доказать.

Пусть $$ABCD$$ — равнобокая трапеция, у которой $$AD \parallel BC$$.

Из свойства равнобокой трапеции известно, что углы при каждом основании равны, то есть

$$\angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C.$$

Тогда

$$\angle A+\angle C=\angle D+\angle B.$$

Но в трапеции $$AD \parallel BC$$ сумма внутренних односторонних углов при секущей равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Следовательно, сумма противоположных углов четырёхугольника $$ABCD$$ равна $$180^\circ$$, а значит, около него можно описать окружность.

Докажем обратное утверждение. Пусть около трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ можно описать окружность. Тогда для вписанного четырёхугольника

$$\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ.$$

Так как $$AD \parallel BC$$, то при секущей $$CD$$ имеем

$$\angle C+\angle D=180^\circ.$$

Из равенств

$$\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle C+\angle D=180^\circ$$

получаем

$$\angle A=\angle D.$$

Проведём через точку $$C$$ прямую, параллельную $$AB$$, и обозначим точку её пересечения с прямой $$AD$$ через $$E$$. Тогда четырёхугольник $$ABCE$$ — параллелограмм, поэтому

$$AB=CE.$$

Так как $$AB \parallel CE$$, а $$AE \subset AD$$, то

$$\angle CED=\angle A.$$

Но $$\angle A=\angle D$$, значит

$$\angle CED=\angle D.$$

Следовательно, треугольник $$CED$$ равнобедренный, и потому

$$CE=CD.$$

Тогда

$$AB=CE=CD,$$

то есть $$AB=CD$$. Значит, боковые стороны трапеции равны, следовательно, трапеция равнобокая.

Итак, около равнобокой трапеции можно описать окружность, и обратно: если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая.

Ответ

Да, около равнобокой трапеции можно описать окружность. Обратное утверждение тоже верно: если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая.