Упр.11.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: в остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD, BE, CF;
Найти: углы треугольника DEF, зная углы треугольника ABC;
Решение:
1) В предыдущей задаче было доказано, что треугольники, у которых
одна вершина общая с треугольник ABC, а двумя другими вершинами являются
основания высот, проведенных из двух других вершин треугольник ABC, подобны
треугольнику ABC, следовательно:
треугольник AEF~треугольник ABC, отсюда: угол AFE = углу C и угол AEF = углу B;
треугольник BDF~треугольник BAC, отсюда: угол BFD = углу C и угол BDF = углу A;
треугольник CDE~треугольник CBA, отсюда: угол CDE = углу A и угол CED = углу B;
2) Рассмотрим треугольник DEF:
угол D = углу CBD- угол CDE- угол BDF=180°-2угол A;
угол E = углу AEC- угол AEF- угол CED=180°-2угол B;
угол F = углу AFD- угол AFE- угол BFD=180°-2угол C;
Ответ: угол D=180°-2угол A; угол E=180°-2угол B; угол F=180°-2угол C.

Подробный ответ

Из предыдущей задачи известно, что треугольники, образованные вершиной треугольника $$ABC$$ и основаниями двух высот, подобны треугольнику $$ABC$$. Поэтому

$$\triangle AEF \sim \triangle ABC,$$

откуда $$\angle AFE=\angle C$$ и $$\angle AEF=\angle B$$.

Аналогично

$$\triangle BDF \sim \triangle BAC,$$

следовательно, $$\angle BFD=\angle C$$ и $$\angle BDF=\angle A$$;

$$\triangle CDE \sim \triangle CBA,$$

следовательно, $$\angle CDE=\angle A$$ и $$\angle CED=\angle B$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$DEF$$.

Угол при вершине $$D$$ равен разности углов:

$$\angle D=\angle CDB-\angle CDE-\angle BDF=180^\circ-2\angle A.$$

Аналогично

$$\angle E=\angle AEC-\angle AEF-\angle CED=180^\circ-2\angle B,$$