Упр.5.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне (рис. 110).
Пусть даны отрезки $$a$$ и $$b$$, равные двум сторонам искомого треугольника, и отрезок $$m$$, равный его медиане.
- Отметим на произвольной прямой точку $$M$$.
- Проведём окружность с центром в $$M$$ радиуса $$m$$. Она пересечёт прямую в точках $$C$$ и $$C_1$$.
- Проведём окружность с центром в $$C_1$$ радиуса $$b$$ и окружность с центром в $$C$$ радиуса $$a$$. Пусть их точка пересечения — $$B$$.
- Проведём окружность с центром в $$M$$ радиуса $$BM$$. Точка её пересечения с прямой $$BM$$, отличная от $$B$$, обозначим через $$A$$.
Докажем, что треугольник $$ABC$$ — искомый.
Так как $$MC=MC_1=m$$, то точка $$M$$ — середина отрезка $$CC_1$$. Кроме того, по построению $$BC=a$$ и $$BC_1=b$$, а также $$AM=BM$$.
Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$BMC_1$$. Имеем:
$$AM=BM,$$
$$MC=MC_1,$$
$$\angle AMC=\angle BMC_1$$
как вертикальные. Следовательно, $$\triangle AMC \cong \triangle BMC_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$AC=BC_1=b.$$
Но по построению $$BC=a$$. Значит, у треугольника $$ABC$$ две стороны равны заданным отрезкам $$a$$ и $$b$$, а точка $$M$$ — середина стороны $$AC$$, то есть $$BM$$ является медианой к третьей стороне.
Следовательно, построение выполнено верно.
