Упр.3.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники $$ABE_1$$ и $$ABE_2$$ равны, то треугольники $$CDE_1$$ и $$CDE_2$$ тоже равны (рис. 65).

Так как $$\triangle ABE_1 \cong \triangle ABE_2,$$ то

$$BE_1=BE_2,\qquad \angle ABE_2=\angle ABE_1.$$

Точки $$A,\ B,\ C,\ D$$ лежат на одной прямой, поэтому углы $$\angle CBE_2$$ и $$\angle CBE_1$$ являются смежными с равными углами $$\angle ABE_2$$ и $$\angle ABE_1.$$ Следовательно,

$$\angle CBE_2=\angle CBE_1.$$

Рассмотрим треугольники $$CBE_2$$ и $$CBE_1.$$ У них

$$CB$$ — общая сторона, $$BE_2=BE_1,$$ $$\angle CBE_2=\angle CBE_1.$$

Значит, $$\triangle CBE_2 \cong \triangle CBE_1$$ по первому признаку, откуда

$$CE_1=CE_2,\qquad \angle BCE_1=\angle BCE_2.$$

Теперь углы $$\angle CE_1D$$ и $$\angle CE_2D$$ смежные с равными углами $$\angle BCE_1$$ и $$\angle BCE_2,$$ значит

$$\angle CE_1D=\angle CE_2D.$$

Рассмотрим треугольники $$CDE_1$$ и $$CDE_2.$$ Имеем

$$CD$$ — общая сторона, $$CE_1=CE_2,$$ $$\angle CE_1D=\angle CE_2D.$$

Следовательно, $$\triangle CDE_1 \cong \triangle CDE_2$$ по первому признаку.