Упр.10.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 32. Даны вершины треугольника А (1; 1), В (4; 1), С (4; 5). Найдите косинусы углов треугольника.

Подробный ответ

Найдём косинусы углов треугольника через скалярное произведение векторов.

1) Угол $$A$$.

Векторы:

$$\overrightarrow{AB}=(4-1;\,1-1)=(3;\,0),$$

$$\overrightarrow{AC}=(4-1;\,5-1)=(3;\,4).$$

Длины этих векторов:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+0^2}=3,$$

$$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

По формуле скалярного произведения:

$$\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|}=\frac{3\cdot 3+0\cdot 4}{3\cdot 5}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.$$

2) Угол $$B$$.

Векторы:

$$\overrightarrow{BA}=(-3;\,0),$$

$$\overrightarrow{BC}=(4-4;\,5-1)=(0;\,4).$$

Их длины:

$$|\overrightarrow{BA}|=3,\qquad |\overrightarrow{BC}|=4.$$

Тогда

$$\cos B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}=\frac{(-3)\cdot 0+0\cdot 4}{3\cdot 4}=0.$$

3) Угол $$C$$.

Векторы:

$$\overrightarrow{CB}=(0;\,-4),$$

$$\overrightarrow{CA}=(-3;\,-4).$$

Их длины:

$$|\overrightarrow{CB}|=4,\qquad |\overrightarrow{CA}|=5.$$

Тогда

$$\cos C=\frac{\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CB}|\cdot |\overrightarrow{CA}|}=\frac{0\cdot (-3)+(-4)\cdot (-4)}{4\cdot 5}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}.$$