Упр.15.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна $$4\ \text{см}$$. Стороны оснований равны $$2\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Найдите площади диагональных сечений.

Подробный ответ

Так как пирамида правильная, её основания — подобные квадраты. Диагональное сечение проходит через диагонали оснований и высоту усечённой пирамиды, значит оно является трапецией.

Найдём диагональ большего основания. Если сторона квадрата равна $$8$$ см, то его диагональ:

$$AC=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\text{ см}.$$

По подобию оснований отношение диагоналей равно отношению сторон:

$$\frac{A_1C_1}{AC}=\frac{2}{8}.$$

Тогда

$$A_1C_1=AC\cdot \frac{2}{8}=8\sqrt{2}\cdot \frac{2}{8}=2\sqrt{2}\text{ см}.$$

Площадь диагонального сечения равна площади трапеции с основаниями $$AC$$ и $$A_1C_1$$ и высотой $$4$$ см:

$$S=\frac{AC+A_1C_1}{2}\cdot h =\frac{8\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}\cdot 4 =\frac{10\sqrt{2}}{2}\cdot 4 =20\sqrt{2}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$20\sqrt{2}\text{ см}^2$$.