Упр.14.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Периметр равнобедренного треугольника равен $$64\ \text{см}$$, а его боковая сторона на $$11\ \text{см}$$ больше основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону.

Пусть $$b$$ — основание равнобедренного треугольника, а $$a$$ — его боковая сторона. По условию $$a=b+11$$, а периметр равен $$64$$ см, значит

$$2a+b=64.$$

Подставим $$a=b+11$$:

$$2(b+11)+b=64,$$

$$3b+22=64,$$

$$3b=42,$$

$$b=14\text{ см}.$$

Тогда

$$a=14+11=25\text{ см}.$$

Найдём площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр:

$$p=\frac{64}{2}=32\text{ см}.$$

Тогда

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-a)} =\sqrt{32\cdot(32-25)\cdot(32-14)\cdot(32-25)}$$

$$S=\sqrt{32\cdot 7\cdot 18\cdot 7} =\sqrt{(16\cdot 2)\cdot 7^2\cdot 9\cdot 2} =168\text{ см}^2.$$

С другой стороны, если $$h_a$$ — высота, опущенная на боковую сторону $$a$$, то

$$S=\frac12 ah_a.$$

Отсюда

$$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot 168}{25}=\frac{336}{25}=13{,}44\text{ см}.$$

Ответ: $$13{,}44\text{ см}$$.