Упр.13.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность. Верно ли обратное утверждение?

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — равнобокая трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$. Тогда углы при каждом основании равны:

$$\angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C.$$

Следовательно,

$$\angle A+\angle C=\angle D+\angle B.$$

Но в трапеции $$AD\parallel BC$$, значит сумма внутренних односторонних углов при секущей равна $$180^\circ$$, то есть

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Отсюда

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Значит, сумма противоположных углов четырёхугольника $$ABCD$$ равна $$180^\circ$$, поэтому около него можно описать окружность.

Обратно, пусть около трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ можно описать окружность. Тогда для вписанного четырёхугольника

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Так как $$AD\parallel BC$$, то при секущей $$CD$$ имеем

$$\angle C+\angle D=180^\circ.$$

Сравнивая эти равенства, получаем

$$\angle A=\angle D.$$

Проведём через точку $$C$$ прямую, параллельную $$AB$$, и обозначим точку её пересечения с $$AD$$ через $$E$$. Тогда четырехугольник $$ABCE$$ — параллелограмм, значит

$$AB=CE.$$

Кроме того, из $$CE\parallel AB$$ и $$AE\parallel BC$$ следует, что

$$\angle CED=\angle A.$$

Так как $$\angle A=\angle D$$, то

$$\angle CED=\angle D.$$

Следовательно, треугольник $$CED$$ равнобедренный, поэтому

$$CE=CD.$$

Тогда

$$AB=CE=CD,$$

то есть боковые стороны трапеции равны. Значит, трапеция $$ABCD$$ равнобокая.

Итак, около равнобокой трапеции можно описать окружность, и наоборот: если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая.