Упр.6.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: в прямоугольный треугольник с катетами 6 см вписан прямоу-
гольник, имеющий с треугольником общий угол;
Найти: периметр прямоугольника;
Решение:
1) Пусть ABC-данный прямоугольный треугольник, у которого
угол B=90° и AB=BC=6 см, а BA1 B1 C1-вписанный в него
прямоугольник;
2) Так как треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, то:
угол A = углу C=(180°-90°)/2=45°;
3) BA1 B1 C1-прямоугольник, значит: BC1 перпендикулярен C1 B1;
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник AC1 B1:
угол C1=90° и угол A=45°, значит угол B1=90°-45°=45°, следовательно
этот треугольник равноберенный, отсюда C1 B1=AC1;
5) Найдем периметр прямоугольника BA1 B1 C1:
P(BA1 B1 C1)=BA1+A1 B1+B1 C1+C1 B=2(C1 B1+C1 B)=2(AC1+C1 B);
P(BA1 B1 C1)=2•AB=2•6=12 см;
Ответ: 12 см.

Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный треугольник, у которого $$\angle B=90^\circ$$ и $$AB=BC=6$$ см, а $$BA_1B_1C_1$$ — вписанный в него прямоугольник.

Так как треугольник $$ABC$$ прямоугольный и равнобедренный, то

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$

В прямоугольнике $$BA_1B_1C_1$$ имеем $$BC_1\perp C_1B_1$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AC_1B_1$$. В нём $$\angle C_1=90^\circ$$ и $$\angle A=45^\circ$$, значит

$$\angle B_1=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$AC_1B_1$$ равнобедренный, поэтому

$$C_1B_1=AC_1.$$

Периметр прямоугольника равен

$$P_{BA_1B_1C_1}=2\bigl(C_1B_1+C_1B\bigr)=2\bigl(AC_1+C_1B\bigr).$$

Но $$AC_1+C_1B=AB$$, значит

$$P_{BA_1B_1C_1}=2\cdot AB=2\cdot 6=12\text{ см}.$$

Ответ

$$12\text{ см}$$