Упр.7.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

На прямолинейном шоссе требуется указать место автобусной остановки так, чтобы сумма расстояний от неё до населённых пунктов $$A$$ и $$B$$ была наименьшей. Рассмотрите два случая: 1) пункты расположены по разные стороны от шоссе (рис. 166, а); 2) пункты расположены по одну сторону от шоссе (рис. 166, б).

Рассмотрим два случая.

1. Если пункты $$A$$ и $$B$$ расположены по разные стороны от шоссе, обозначим шоссе прямой $$a$$ и проведём отрезок $$AB$$. Он пересечёт прямую $$a$$ в точке $$M$$.

   Так как точка $$M$$ лежит на отрезке $$AB$$, то

   $$AM+MB=AB.$$

   Сумма расстояний от остановки до пунктов $$A$$ и $$B$$ будет наименьшей, если остановку поставить в точке $$M$$.

2. Если пункты $$A$$ и $$B$$ расположены по одну сторону от шоссе, обозначим шоссе прямой $$a$$. Из точки $$B$$ опустим перпендикуляр $$BH$$ к прямой $$a$$ и на продолжении луча $$BH$$ отложим отрезок $$HB’ = BH$$.

   Проведём отрезок $$AB’$$; он пересечёт прямую $$a$$ в точке $$M$$.

   Точка $$H$$ — середина отрезка $$BB’$$, а $$MH \perp BB’$$. Значит, $$MH$$ является серединным перпендикуляром к $$BB’$$, поэтому

   $$MB=MB’.$$

   Тогда

   $$AM+MB=AM+MB’=AB’.$$

   Следовательно, наименьшая сумма расстояний получается, если остановку поставить в точке $$M$$.

Итак, в обоих случаях остановку нужно разместить в точке пересечения шоссе с прямой, соединяющей $$A$$ с $$B$$ или с точкой $$B’$$, симметричной $$B$$ относительно шоссе.