Упр.6.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен $$6\ \text{см}$$, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол (рис. 143). Найдите периметр прямоугольника.

Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный треугольник, где $$\angle B=90^\circ$$ и $$AB=BC=6$$ см. В него вписан прямоугольник $$BA_1B_1C_1$$.

Так как треугольник $$ABC$$ прямоугольный и равнобедренный, то

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$

В прямоугольнике $$BA_1B_1C_1$$ имеем $$BC_1\perp C_1B_1$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AC_1B_1$$. В нём $$\angle C_1=90^\circ$$, $$\angle A=45^\circ$$, значит

$$\angle B_1=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$AC_1B_1$$ равнобедренный, поэтому

$$C_1B_1=AC_1.$$

Тогда периметр прямоугольника равен

$$P=2\bigl(C_1B_1+C_1B\bigr)=2\bigl(AC_1+C_1B\bigr).$$

Но $$AC_1+C_1B=AB$$, значит

$$P=2\cdot AB=2\cdot 6=12\text{ см}.$$

Ответ: $$12$$ см.