Упр.15.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. По данной стороне основания $$a$$ и боковому ребру $$b$$ найдите высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

Пусть $$AB$$ — сторона основания, $$O$$ — центр основания, $$P$$ — вершина пирамиды. Тогда $$AB=a$$, $$PA=b$$, а высота пирамиды равна $$PO=h$$.

В правильной пирамиде вершина $$P$$ находится на перпендикуляре к плоскости основания, проведённом через центр $$O$$. Поэтому в прямоугольном треугольнике $$AOP$$ имеем:

$$h=\sqrt{PA^2-AO^2}=\sqrt{b^2-R^2},$$

где $$R$$ — радиус описанной около основания окружности.

Для правильного $$n$$-угольника

$$R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

Тогда

$$h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$

1) Правильная треугольная пирамида

При $$n=3$$:

$$h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 60^\circ}}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot \frac{3}{4}}}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}.$$

2) Правильная четырёхугольная пирамида

При $$n=4$$:

$$h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 45^\circ}}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot \frac{1}{2}}}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}.$$

3) Правильная шестиугольная пирамида

При $$n=6$$:

$$h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 30^\circ}}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot \frac{1}{4}}}=\sqrt{b^2-a^2}.$$

Ответ: 1) $$\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}$$; 2) $$\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}$$; 3) $$\sqrt{b^2-a^2}$$.