Упр.14.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Боковые стороны треугольника $$30\ \text{см}$$ и $$25\ \text{см}$$. Найдите высоту, опущенную на основание, равное: 1) $$25\ \text{см}$$; 2) $$11\ \text{см}$$.

Пусть $$a=30\text{ см}$$ и $$b=25\text{ см}$$ — боковые стороны треугольника, $$c$$ — основание, а $$h_c$$ — высота, опущенная на сторону $$c$$.

По формуле Герона площадь треугольника равна

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

где $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ — полупериметр. Тогда

$$h_c=\frac{2S}{c}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}.$$

1. Если $$c=25\text{ см},$$ то

   $$p=\frac{30+25+25}{2}=40\text{ см}.$$

   Тогда

   $$h_c=\frac{2\sqrt{40\cdot(40-30)\cdot(40-25)\cdot(40-25)}}{25} =\frac{2\sqrt{40\cdot10\cdot15\cdot15}}{25}.$$

   $$h_c=\frac{2\cdot15\cdot\sqrt{4\cdot10\cdot10}}{25} =\frac{30\cdot20}{25}=24\text{ см}.$$

2. Если $$c=11\text{ см},$$ то

   $$p=\frac{30+25+11}{2}=33\text{ см}.$$

   Тогда

   $$h_c=\frac{2\sqrt{33\cdot(33-30)\cdot(33-25)\cdot(33-11)}}{11} =\frac{2\sqrt{33\cdot3\cdot8\cdot22}}{11}.$$

   $$h_c=\frac{2\sqrt{3\cdot11\cdot3\cdot2\cdot4\cdot2\cdot11}}{11} =\frac{2\cdot3\cdot11\cdot2\cdot2}{11}=24\text{ см}.$$

Ответ: $$24\text{ см};\ 24\text{ см}.$$