Упр.13.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Опишите около окружности правильный треугольник, квадрат, правильный восьмиугольник.

Подробный ответ

Пусть дана окружность с центром $$O$$. Построим сначала правильный шестиугольник, вписанный в эту окружность: его сторона равна радиусу окружности, так как центральный угол равен $$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$$.

Возьмём на окружности произвольную точку $$B_1$$ и, не изменяя раствора циркуля, последовательно отложим на окружности ещё пять равных хорд. Получим точки $$B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$$, для которых $$B_1B_2B_3B_4B_5B_6$$ — правильный шестиугольник.

1. Правильный треугольник, описанный около окружности

Через точки $$B_1$$, $$B_3$$ и $$B_5$$ проведём прямые, перпендикулярные радиусам $$OB_1$$, $$OB_3$$ и $$OB_5$$ соответственно. Эти прямые попарно пересекутся в точках $$A_1$$, $$A_2$$ и $$A_3$$.

Так как каждая из этих прямых касается окружности, то треугольник $$A_1A_2A_3$$ описан около окружности. Кроме того, углы между соседними касательными равны, поэтому $$A_1A_2A_3$$ — правильный треугольник.

2. Квадрат, описанный около окружности

Построим два взаимно перпендикулярных диаметра окружности. Пусть один из них проходит через точки $$A_1$$ и $$C_1$$, а другой — через точки $$B_1$$ и $$D_1$$. Тогда четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$ — квадрат, вписанный в окружность.

Через каждую его вершину проведём прямую, перпендикулярную соответствующему радиусу, и обозначим точки пересечения этих прямых попарно через $$A, B, C, D$$. Получим квадрат $$ABCD$$, описанный около окружности.

3. Правильный восьмиугольник, описанный около окружности

Сначала построим правильный вписанный четырёхугольник $$B_1B_3B_5B_7$$. Затем для сторон $$B_1B_3$$ и $$B_3B_5$$ построим серединные перпендикуляры и отметим на окружности точки $$B_2, B_4, B_6, B_8$$. Тогда

$$B_1B_2B_3B_4B_5B_6B_7B_8$$ — правильный восьмиугольник, вписанный в окружность.

Через каждую его вершину проведём касательную к окружности, то есть прямую, перпендикулярную радиусу, проведённому в эту вершину. Точки пересечения соседних касательных обозначим $$A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$$. Тогда многоугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$$ — правильный восьмиугольник, описанный около окружности.