Упр.7.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрите два случая: 1) пункты расположены по разные стороны от шоссе (рис. 166, а); 2) пункты расположены по одну сторону от шоссе (рис. 166, б).
I) Рассмотрим случай, если населенные пункты A и B находятся по
разные стороны от шоссе:
1) Представим шоссе как прямую a;
2) Проведем отрезок AB, он пересечет прямую a в точке M;
3) Отрезок AB является расстоянием между двумя точками, то есть
это наименьшая линия, которую можно провести между ними;
4) Так как точка M принадлежит AB, то: AM+MB=AB;
5) Таким образом, остановку требуется установить в точке M.
II) Рассмотрим случай, если населенные пункты A и B находятся по
одну сторону от шоссе:
1) Представим шоссе как прямую a;
2) Проведем из точки B перпендикуляр BH к прямой a;
3) На продолжении луча BH отложим отрезок HB’=BH;
4) Проведем отрезок AB’, он пересечет прямую a в точке M;
5) MH является высотой и медианой треугольника MBB’ значит этот
треугольник-равнобедренный с основанием BB’, отсюда MB’=MB;
6) Так как точка M принадлежит AB’, то: AM+MB=AM+MB’=AB;
7) Таким образом, остановку требуется установить в точке M:

Рассмотрим два случая.

1) Точки $$A$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от шоссе.

Пусть шоссе — прямая $$a$$. Проведём отрезок $$AB$$. Он пересечёт прямую $$a$$ в точке $$M$$.

Отрезок $$AB$$ — кратчайшее расстояние между точками $$A$$ и $$B$$, поэтому для любой точки $$M$$ на нём выполняется

$$AM+MB=AB.$$

Значит, сумма расстояний от остановки до пунктов $$A$$ и $$B$$ будет наименьшей, если остановку поставить в точке $$M$$.

2) Точки $$A$$ и $$B$$ лежат по одну сторону от шоссе.

Пусть шоссе — прямая $$a$$. Из точки $$B$$ опустим перпендикуляр $$BH$$ на прямую $$a$$ и на продолжении луча $$BH$$ отложим отрезок $$HB’ = BH$$.

Тогда точка $$H$$ — середина отрезка $$BB’$$, а прямая $$a$$ перпендикулярна $$BB’$$. Следовательно, прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$BB’$$.

Проведём отрезок $$AB’$$; он пересечёт прямую $$a$$ в точке $$M$$. Так как $$M$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$BB’$$, то

$$MB=MB’.$$

Тогда

$$AM+MB=AM+MB’=AB’.$$

А значит, сумма $$AM+MB$$ наименьшая именно при выборе точки $$M$$.

Итак, в обоих случаях остановку нужно расположить в точке пересечения шоссе с отрезком $$AB$$ или с отрезком $$AB’$$, построенным после отражения точки $$B$$ относительно шоссе.

Ответ

Если $$A$$ и $$B$$ по разные стороны от шоссе, остановку ставят в точке пересечения шоссе с отрезком $$AB$$. Если $$A$$ и $$B$$ по одну сторону от шоссе, точку $$B$$ отражают относительно шоссе и проводят отрезок $$AB’$$; остановка должна быть в точке пересечения шоссе с $$AB’$$.