Упр.14.30 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: треугольник со сторонами a, b и c;
Найти: высоту треугольника, опущенную на сторону c;
Решение:
1) Пусть hc-искомая высота трегольника, опущенная на сторону c;
2) По формуле Герона площадь данного треугольника равна:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p=(a+b+c)/2-полупериметр;
3) Но также площадь этого треугольника равна: S=1/2•chc;
4) Уравнивая правые части этих выражений, получаем:
v(p(p-a)(p-b)(p-c))=1/2•chc, отсюда hc=(2v(p(p-a)(p-b)(p-c)))/c;
Ответ: hc=(2v(p(p-a)(p-b)(p-c)))/c или hc=2S/c.

Подробный ответ

Обозначим искомую высоту, опущенную на сторону $$c$$, через $$h_c$$.

По формуле Герона площадь треугольника равна

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через основание $$c$$ и высоту $$h_c$$:

$$S=\frac{1}{2}ch_c.$$

Приравниваем выражения для площади:

$$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{1}{2}ch_c.$$

Отсюда

$$h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}.$$

Так как $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, то можно записать и так:

$$h_c=\frac{2S}{c}.$$