Упр.3.30 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что у равнобедренного треугольника высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$, а $$BH$$ — высота, опущенная на основание $$AC$$. Тогда $$\angle BHA=\angle BHC=90^\circ$$.

Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$. У них:

• $$AB=BC$$;
• $$BH$$ — общая сторона;
• $$\angle BHA=\angle BHC=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle CBH$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle ABH=\angle HBC,$$

значит, $$BH$$ — биссектриса угла $$B$$.

Кроме того, из равенства треугольников получаем

$$AH=HC.$$

Следовательно, точка $$H$$ — середина отрезка $$AC$$, а значит, $$BH$$ является медианой.

Итак, высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является и медианой, и биссектрисой.