Упр.13.3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если вершины ломаной не лежат на одной прямой, то длина
ломаной больше длины отрезка, соединяющего его концы;
Доказательство:
Доказательство:
1) Пусть A1 A2 A3…An-данная ломаная;
2) Заменим звенья A1 A2 и A2 A3 одним звеном A1 A3, получим ломаную
A1 A3 A4…An;
3) Согласно неравенству треугольника:
A1 A3 < A1 A2+A2 A3, значит ломаная A1 A3 A4…An имеет длину, меньшую чем исходная ломаная; 4) Заменяя таким же образом звенья A1 A3 и A3 A4 звеном A1 A4, переходим к ломаной A1 A4 A5…An, которая также имеет длину меньшую.чем исходная ломаная; 5) И так далее, в итоге мы придем к отрезку A1 An, соединяющему концы ломаной, отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, большую длины отрезка A1 An, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть дана ломаная $$A_1A_2A_3\dots A_n.$$ Так как её вершины не лежат на одной прямой, то найдётся хотя бы одно звено, которое можно заменить диагональю треугольника.

Заменим звенья $$A_1A_2$$ и $$A_2A_3$$ одним звеном $$A_1A_3.$$ По неравенству треугольника

$$A_1A_3<A_1A_2+A_2A_3.$$

Значит, новая ломаная $$A_1A_3A_4\dots A_n$$ короче исходной.

Аналогично заменим звенья $$A_1A_3$$ и $$A_3A_4$$ звеном $$A_1A_4.$$ Тогда получим ещё более короткую ломаную $$A_1A_4A_5\dots A_n.$$

Продолжая этот процесс, последовательно заменяем два соседних звена одним отрезком, соединяющим их концы. В конце концов получим отрезок $$A_1A_n.$$

Так как на каждом шаге длина ломаной уменьшается, то исходная ломаная длиннее отрезка $$A_1A_n,$$ соединяющего её концы.