Упр.12.3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: треугольник со сторонами a, b и c;
Доказать: если a^2+b^2 > c^2, то угол, противолежащий стороне c, острый;
если a^2+b^2 < c^2, то угол, противолежащий стороне c, тупой; Доказательство: 1) Пусть ABC-данный треугольник со сторонами: AB=c, BC=a и CA=b; 3) Согласно теореме косинусов: AB^2=AC^2+BC^2-2AC•BC•cos угла C; c^2=b^2+a^2-2ba•cos угла C;

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, в котором $$AB=c$$, $$BC=a$$, $$CA=b$$. Тогда угол, противолежащий стороне $$c$$, — это $$\angle C$$.

По теореме косинусов:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \angle C.$$

Если $$a^2+b^2>c^2$$, то

$$a^2+b^2>a^2+b^2-2ab\cos \angle C,$$

откуда

$$0>-2ab\cos \angle C,$$

$$2ab\cos \angle C>0.$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$\cos \angle C>0$$, значит, $$\angle C<90^\circ$$, то есть он острый.

Если $$a^2+b^2<c^2$$, то

$$a^2+b^2<a^2+b^2-2ab\cos \angle C,$$

откуда

$$0<-2ab\cos \angle C,$$

$$2ab\cos \angle C<0.$$

Следовательно, $$\cos \angle C<0$$, значит, $$\angle C>90^\circ$$, то есть он тупой.

Ответ

Если $$a^2+b^2>c^2$$, то угол, противолежащий стороне $$c$$, острый; если $$a^2+b^2<c^2$$, то этот угол тупой.