Упр.5.3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен хорде.

Пусть $$AB$$ — хорда окружности, а $$C$$ — её середина. Обозначим центр окружности через $$O$$.

Тогда $$OA=OB$$ как радиусы одной окружности, значит треугольник $$AOB$$ равнобедренный. Поскольку $$C$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$OC$$ является медианой треугольника $$AOB$$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Следовательно, $$OC \perp AB$$.

Так как отрезок $$OC$$ лежит на диаметре окружности, проходящем через середину хорды, то этот диаметр перпендикулярен хорде $$AB$$.

Ответ: диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен этой хорде.