Упр.10.3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

1) точка С лежит на прямой АВ;
2) точка С не лежит на прямой АВ.
Дано: вектор (AB) и точка C;
Отложить: от точки C вектор, равный вектору (AB);
Решение:
I) Если точка C лежит на прямой AB:
1) Из точки B проведем окружность радиуса AC и отметим точку D на
том из пересечений этой окружности и прямой AB, которое лежит по
другую сторону от точки A относительно точки B, тогда: BD=AC;
2) Таким образом, если подвергнуть вектор (AB) такому параллельному
переносу, при котором точка A совместится с точкой C, то точка B
совместится с точкой D, значит векторы (AB) и (CD) равны;
3) Вектор (CD)-искомый:
II) Если точка C не лежит на прямой AB:
1) Из точки B проведем окружность радиуса AC, а из точки C проведем
окружность радиуса AB, отметим точку D на том из пересечений, этих
окружностей, которое лежит по ону сторону от точки C относительно
прямой AB;
2) В четырехугольнике ABCD:
CD=AB и BD=AC, значит он является параллелограммом, отсюда
следует, что векторы (CD) и (AB) равны (доказано в предыущей задаче);
3) Вектор (CD)-искомый

Подробный ответ

1) Если точка $$C$$ лежит на прямой $$AB$$. Проведём из точки $$B$$ окружность радиуса $$AC$$ и отметим точку $$D$$ на пересечении этой окружности с прямой $$AB$$ по другую сторону от точки $$A$$ относительно точки $$B$$. Тогда $$BD=AC$$.

Если перенести вектор $$\overrightarrow{AB}$$ параллельно так, чтобы точка $$A$$ совместилась с точкой $$C$$, то точка $$B$$ совместится с точкой $$D$$. Значит, векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ равны.

Следовательно, искомый вектор — $$\overrightarrow{CD}$$.

2) Если точка $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$. Проведём из точки $$B$$ окружность радиуса $$AC$$, а из точки $$C$$ — окружность радиуса $$AB$$. Обозначим через $$D$$ одну из точек их пересечения, лежащую по одну сторону от точки $$C$$ относительно прямой $$AB$$.

В четырёхугольнике $$ABCD$$ имеем:

$$CD=AB,\qquad BD=AC.$$

Значит, $$ABCD$$ — параллелограмм. Тогда противоположные стороны параллелограмма равны и сонаправлены, поэтому

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.$$

Следовательно, искомый вектор — $$\overrightarrow{CD}$$.