Вопрос 3 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный прямоугольный треугольник с прямым углом C;
2) Проведем высоту CD из вершины угла C, тогда по определению
косинуса угла: cosA=AD/AC=AC/AB, отсюда AB•AD=AC^2;
3) Аналогично для угла B: cosB=BD/BC=BC/AB, отсюда AB•BD=BC^2;
4) (AB•AD)+(AB•BD)=AC^2+BC^2;
AB•(AD+BD)=AC^2+BC^2;
AB•AB=AC^2+BC^2;
AB^2=AC^2+BC^2, что и требовалось доказать.
Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$. Проведём высоту $$CD$$ к гипотенузе $$AB$$.
Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACD$$:
$$\cos A=\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}.$$
Отсюда
$$AB\cdot AD=AC^2.$$
Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$BCD$$:
$$\cos B=\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}.$$
Следовательно,
$$AB\cdot BD=BC^2.$$
Сложим полученные равенства:
$$AB\cdot AD+AB\cdot BD=AC^2+BC^2,$$
$$AB(AD+BD)=AC^2+BC^2.$$
Но $$AD+BD=AB$$, значит
$$AB\cdot AB=AC^2+BC^2,$$
то есть
$$AB^2=AC^2+BC^2.$$
Что и требовалось доказать.
