Вопрос 3 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, $$AB=a$$, а высота, проведённая к стороне $$AB$$, равна $$h$$.
Если параллелограмм не является прямоугольником, то один из его углов $$A$$ или $$B$$ острый; пусть, например, $$\angle A$$ острый.
Опустим перпендикуляр $$AE$$ из вершины $$A$$ на прямую $$CD$$. Тогда площадь трапеции $$ABCE$$ равна сумме площадей параллелограмма $$ABCD$$ и треугольника $$ADE$$:
$$S_{ABCE}=S_{ABCD}+S_{ADE}.$$
Опустим перпендикуляр $$BF$$ из вершины $$B$$ на прямую $$CD$$. Тогда площадь той же трапеции $$ABCE$$ равна сумме площадей прямоугольника $$ABFE$$ и треугольника $$BCF$$:
$$S_{ABCE}=S_{ABFE}+S_{BCF}.$$
Так как $$AE$$ и $$BF$$ равны расстоянию между параллельными прямыми $$AB$$ и $$CD$$, то
$$AE=BF=h.$$
Рассмотрим параллельные прямые $$AD$$ и $$BC$$ и секущую $$DC$$. Тогда
$$\angle ADE=\angle BCF$$
как соответственные углы. Кроме того, $$\angle AED=\angle BFC=90^\circ$$, значит прямоугольные треугольники $$ADE$$ и $$BCF$$ равны по катету и острому углу. Следовательно, их площади равны:
$$S_{ADE}=S_{BCF}.$$
Из равенств площадей трапеции получаем:
$$S_{ABCD}=S_{ABFE}.$$
Но $$ABFE$$ — прямоугольник, поэтому
$$S_{ABFE}=AB\cdot BF=a\cdot h.$$
Следовательно,
$$S_{ABCD}=a\cdot h.$$
Итак, площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
