Упр.13.3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной прямой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего её концы.

Пусть дана ломаная $$A_1A_2A_3\dots A_n.$$

Так как вершины ломаной не лежат на одной прямой, то найдётся треугольник с вершинами в соседних точках ломаной. Тогда по неравенству треугольника

$$A_1A_3<A_1A_2+A_2A_3.$$

Заменим звенья $$A_1A_2$$ и $$A_2A_3$$ одним звеном $$A_1A_3.$$ Получим ломаную $$A_1A_3A_4\dots A_n,$$ длина которой меньше длины исходной ломаной.

Аналогично, заменяя звенья $$A_1A_3$$ и $$A_3A_4$$ звеном $$A_1A_4,$$ затем $$A_1A_4$$ и $$A_4A_5$$ звеном $$A_1A_5$$ и так далее, придём к отрезку $$A_1A_n.$$

При каждом таком переходе длина ломаной уменьшается, значит длина исходной ломаной больше длины отрезка, соединяющего её концы:

$$A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_{n-1}A_n>A_1A_n.$$