Упр.12.3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

• Стороны треугольника равны $$a$$, $$b$$, $$c$$. Докажите, что если $$a^2+b^2>c^2$$, то угол, противолежащий стороне $$c$$, острый. Если $$a^2+b^2

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, причём $$AB=c$$, $$BC=a$$, $$CA=b$$. Тогда угол, противолежащий стороне $$c$$, — это $$\angle C$$.

По теореме косинусов:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \angle C.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$a^2+b^2>c^2$$, то

$$a^2+b^2>a^2+b^2-2ab\cos \angle C,$$

откуда

$$0>-2ab\cos \angle C,$$

$$2ab\cos \angle C>0.$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$\cos \angle C>0$$, значит $$\angle C<90^\circ$$, то есть он острый.

2) Если $$a^2+b^2<c^2$$, то

$$a^2+b^2<a^2+b^2-2ab\cos \angle C,$$

откуда

$$0<-2ab\cos \angle C,$$

$$2ab\cos \angle C<0.$$

Следовательно, $$\cos \angle C<0$$, значит $$\angle C>90^\circ$$, то есть он тупой.

Что и требовалось доказать.