Вопрос 3 Параграф 12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите теорему синусов.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ стороны обозначены так: $$a=BC,$$ $$b=CA,$$ $$c=AB,$$ а противолежащие им углы — $$\alpha,\ \beta,\ \gamma.$$ Докажем, что

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$

Опустим из вершины $$C$$ высоту $$CD$$ на прямую $$AB$$.

Рассмотрим сначала случай, когда угол $$A$$ острый и точка $$D$$ лежит на отрезке $$AB$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACD$$

$$\sin \alpha=\frac{CD}{CA}=\frac{CD}{b},$$

откуда

$$CD=b\sin \alpha.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$BCD$$

$$\sin \beta=\frac{CD}{CB}=\frac{CD}{a},$$

откуда

$$CD=a\sin \beta.$$

Следовательно,

$$b\sin \alpha=a\sin \beta,$$

то есть

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}.$$

Если угол $$A$$ тупой, то точка $$D$$ лежит на продолжении прямой $$AB$$. Но тогда в треугольнике $$ACD$$ угол при $$A$$ равен $$180^\circ-\alpha$$, и

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha=\frac{CD}{b},$$

откуда снова получаем

$$CD=b\sin \alpha.$$

Для треугольника $$BCD$$ рассуждение остаётся тем же, поэтому и в этом случае

$$CD=a\sin \beta,$$

значит,

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}.$$

Точно так же, опустив высоту из вершины $$A$$, получаем

$$\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$

Итак,

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma},$$

что и требовалось доказать.