Вопрос 3 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.
Пусть прямая $$OO_1$$ пересекает прямые $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$O$$ и $$O_1$$ соответственно, причём внутренние накрест лежащие углы $$\angle BOO_1$$ и $$\angle CO_1O$$ равны.
Тогда смежные с ними углы $$\angle AOO_1$$ и $$\angle OO_1D$$ равны, так как смежные углы равны соответственно к равным углам.
Из суммы смежных углов получаем:
$$\angle BOO_1+\angle AOO_1=180^\circ,$$
$$\angle CO_1O+\angle OO_1D=180^\circ.$$
Так как $$\angle AOO_1=\angle OO_1D$$, то из первого равенства следует:
$$\angle BOO_1+\angle OO_1D=180^\circ.$$
А из второго равенства и того же равенства $$\angle AOO_1=\angle OO_1D$$ получаем:
$$\angle CO_1O+\angle AOO_1=180^\circ.$$
Следовательно, внутренние односторонние углы каждой пары в сумме дают $$180^\circ$$. Кроме того, из равенства одной пары внутренних накрест лежащих углов следует равенство другой пары.
Ответ
Если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна $$180^\circ$$.
