Вопрос 3 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.

Пусть $$O$$ — центр гомотетии, $$k$$ — её коэффициент, а $$X$$ и $$Y$$ — произвольные точки фигуры. Тогда их образы $$X’$$ и $$Y’$$ лежат на лучах $$OX$$ и $$OY$$ соответственно, причём

$$OX’=k\cdot OX,\qquad OY’=k\cdot OY.$$

В векторной форме это означает:

$$\overrightarrow{OX’}=k\cdot \overrightarrow{OX},\qquad \overrightarrow{OY’}=k\cdot \overrightarrow{OY}.$$

Вычтем почленно эти равенства:

$$\overrightarrow{OY’}-\overrightarrow{OX’}=k\bigl(\overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX}\bigr).$$

По правилу сложения и вычитания векторов

$$\overrightarrow{OY’}-\overrightarrow{OX’}=\overrightarrow{X’Y’},\qquad \overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{XY}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{X’Y’}=k\cdot \overrightarrow{XY}.$$

Значит,

$$X’Y’=|k|\cdot XY,$$

то есть все расстояния при гомотетии изменяются в одно и то же число раз. Поэтому гомотетия сохраняет подобие фигур, а значит, является преобразованием подобия.