Упр.10.3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Даны вектор $$\overrightarrow{AB}$$ и точка $$C$$. Отложите от точки $$C$$ вектор, равный вектору $$\overrightarrow{AB}$$, если: 1) точка $$C$$ лежит на прямой $$AB$$; 2) точка $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$.

Если точка $$C$$ лежит на прямой $$AB$$, то отложим от точки $$C$$ на этой же прямой отрезок, равный и параллельный $$AB$$, в ту же сторону. Для этого из точки $$B$$ проведём окружность радиуса $$AC$$ и отметим точку $$D$$ на пересечении этой окружности с прямой $$AB$$ по другую сторону от точки $$A$$ относительно точки $$B$$. Тогда $$BD=AC$$, а значит при параллельном переносе, переводящем $$A$$ в $$C$$, точка $$B$$ перейдёт в $$D$$. Следовательно, $$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$$.

Если точка $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$, то из точки $$B$$ проведём окружность радиуса $$AC$$, а из точки $$C$$ — окружность радиуса $$AB$$. Их пересечение обозначим через $$D$$, выбрав точку по одну сторону от прямой $$AB$$ с точкой $$C$$. Тогда

$$CD=AB,\qquad BD=AC.$$

Значит, в четырёхугольнике $$ABCD$$ противоположные стороны равны, поэтому $$ABCD$$ — параллелограмм. Отсюда следует, что $$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$$.

Ответ: в обоих случаях нужно построить точку $$D$$ так, чтобы $$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$$; при этом $$D$$ находится как указано выше.