Упр.4.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 29. В треугольнике ABC проведены биссектрисы из вершин А и В. Точка их пересечения обозначена D. Найдите угол ADB, если: 1) угол А = 50°, угол В = 100°; 2) угол А = альфа, угол В = бета 3) угол С = 130°; 4) угол С = у. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 pogorelov7-9 4-29 76
Так как $$AD$$ и $$BD$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$, то
$$\angle DAB=\frac12\angle A,\qquad \angle DBA=\frac12\angle B.$$
В треугольнике $$ADB$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, значит
$$\angle DAB+\angle DBA+\angle ADB=180^\circ.$$
Подставим найденные выражения:
$$\frac12\angle A+\frac12\angle B+\angle ADB=180^\circ,$$
откуда
$$\angle ADB=180^\circ-\frac12(\angle A+\angle B).$$
Так как в треугольнике $$ABC$$
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$
то
$$\angle A+\angle B=180^\circ-\angle C.$$
Тогда
$$\angle ADB=180^\circ-\frac12(180^\circ-\angle C)=90^\circ+\frac12\angle C.$$
Теперь найдём угол $$\angle ADB$$ для каждого случая:
1) Если $$\angle A=50^\circ$$ и $$\angle B=100^\circ$$, то
$$\angle ADB=180^\circ-\frac12(50^\circ+100^\circ)=180^\circ-75^\circ=105^\circ.$$
2) Если $$\angle A=\alpha$$ и $$\angle B=\beta$$, то
$$\angle ADB=180^\circ-\frac12(\alpha+\beta).$$
3) Если $$\angle C=130^\circ$$, то
$$\angle ADB=90^\circ+\frac12\cdot130^\circ=90^\circ+65^\circ=155^\circ.$$
4) Если $$\angle C=\gamma$$, то
$$\angle ADB=90^\circ+\frac12\gamma.$$
Ответ
1) $$105^\circ$$; 2) $$180^\circ-\frac12(\alpha+\beta)$$; 3) $$155^\circ$$; 4) $$90^\circ+\frac12\gamma$$.
