Упр.10.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите угол между векторами $$a(1;2)$$ и $$b(1;-\frac{1}{3})$$.

Найдём скалярное произведение векторов $$\vec a=(1;2)$$ и $$\vec b=\left(1;-\frac13\right)$$:

$$\vec a\cdot \vec b=1\cdot 1+2\cdot\left(-\frac13\right)=1-\frac23=\frac13.$$

Вычислим длины векторов:

$$|\vec a|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5,$$

$$|\vec b|=\sqrt{1^2+\left(-\frac13\right)^2}=\sqrt{1+\frac19}=\sqrt{\frac{10}{9}}=\frac{\sqrt{10}}{3}.$$

Пусть угол между векторами равен $$\varphi$$. Тогда

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \cos\varphi,$$

откуда

$$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}=\frac{\frac13}{\sqrt5\cdot \frac{\sqrt{10}}{3}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{1}{5\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{10}.$$

Тогда

$$\varphi \approx 81^\circ52′.$$

Ответ: $$81^\circ52′.$$