Упр.7.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Известно, что диагонали четырёхугольника пересекаются. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырёхугольника.

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а его диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$. Обозначим периметр четырёхугольника через $$P$$.

По неравенству треугольника в треугольниках $$ABC$$, $$ADC$$, $$ABD$$ и $$CBD$$ имеем:

$$AC<AB+BC,$$
$$AC<AD+CD,$$
$$BD<AB+AD,$$
$$BD<BC+CD.$$

Сложим эти неравенства:

$$2(AC+BD)<2(AB+BC+CD+AD)=2P,$$

откуда

$$AC+BD<P.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$. По неравенству треугольника:

$$AB<OA+OB,$$
$$BC<OB+OC,$$
$$CD<OC+OD,$$
$$AD<OA+OD.$$

Сложим эти неравенства:

$$AB+BC+CD+AD<2(OA+OB+OC+OD).$$

Так как $$O$$ лежит на диагоналях, то

$$OA+OC=AC,\qquad OB+OD=BD,$$

следовательно,

$$P<2(AC+BD).$$

Делим обе части на $$2$$:

$$\frac{P}{2}<AC+BD.$$

Итак,

$$\frac{P}{2}<AC+BD<P.$$