Упр.6.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

6-29. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на $$4\ \text{см}$$ дальше, чем от большей. Периметр прямоугольника $$56\ \text{см}$$. Найдите стороны прямоугольника.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, причём $$BC>AB$$, а $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Опустим из точки $$O$$ перпендикуляры на стороны прямоугольника и обозначим их основания через $$M,\,M_1,\,N,\,N_1$$.

Пусть расстояние от точки $$O$$ до меньшей стороны равно $$x$$ см, тогда до большей стороны оно равно $$x+4$$ см. Значит,

$$ON=ON_1=x,\qquad OM=OM_1=x+4.$$

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ$$, а также $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABNN_1$$. В нём все углы прямые, значит, это прямоугольник. Тогда

$$AB=NN_1=ON+ON_1=x+x=2x.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$BCMM_1$$. Он тоже является прямоугольником, поэтому

$$BC=MM_1=OM+OM_1=(x+4)+(x+4)=2x+8.$$

По условию периметр прямоугольника равен $$56$$ см, значит

$$P=2(AB+BC)=2\bigl(2x+(2x+8)\bigr)=8x+16.$$

Тогда

$$8x+16=56,$$
$$8x=40,$$
$$x=5.$$

Следовательно,