Упр.4.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ проведены биссектрисы из вершин $$A$$ и $$B$$. Точка их пересечения обозначена $$D$$. Найдите угол $$ADB$$, если:
   1) угол $$A=50^\circ$$, угол $$B=100^\circ$$;
   2) угол $$A=\alpha$$, угол $$B=\beta$$;
   3) угол $$C=130^\circ$$;
   4) угол $$C=\gamma$$.

Так как $$AD$$ и $$BD$$ — биссектрисы, то

$$\angle DAB=\frac12\angle A,\qquad \angle DBA=\frac12\angle B.$$

В треугольнике $$ADB$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle ADB=180^\circ-\angle DAB-\angle DBA=180^\circ-\frac12\angle A-\frac12\angle B.$$

Так как в треугольнике $$ABC$$

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

то

$$\angle ADB=180^\circ-\frac12(180^\circ-\angle C)=90^\circ+\frac12\angle C.$$

Теперь подставим данные.

1. Если $$\angle A=50^\circ$$ и $$\angle B=100^\circ,$$ то

   $$\angle ADB=180^\circ-\frac12(50^\circ+100^\circ)=180^\circ-75^\circ=105^\circ.$$

2. Если $$\angle A=\alpha$$ и $$\angle B=\beta,$$ то

   $$\angle ADB=180^\circ-\frac12(\alpha+\beta).$$

3. Если $$\angle C=130^\circ,$$ то

   $$\angle ADB=90^\circ+\frac12\cdot130^\circ=155^\circ.$$

4. Если $$\angle C=\gamma,$$ то

   $$\angle ADB=90^\circ+\frac12\gamma.$$

Ответ: 1) $$105^\circ$$; 2) $$180^\circ-\frac12(\alpha+\beta)$$; 3) $$155^\circ$$; 4) $$90^\circ+\frac12\gamma$$.