Упр.12.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если:
   1) $$a=2,\ b=3,\ c=4$$;
   2) $$a=7,\ b=2,\ c=8$$;
   3) $$a=4,\ b=5,\ c=7$$;
   4) $$a=15,\ b=24,\ c=18$$;
   5) $$a=23,\ b=17,\ c=39$$;
   6) $$a=55,\ b=21,\ c=38$$.

Обозначим углы треугольника так, как на рисунке: $$\alpha$$ — напротив стороны $$a$$, $$\beta$$ — напротив стороны $$b$$, $$\gamma$$ — напротив стороны $$c$$.

Сначала находим один угол по теореме косинусов, затем второй — по теореме синусов, а третий — по сумме углов треугольника.

1) Если $$a=2$$, $$b=3$$, $$c=4$$

$$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{3^2+4^2-2^2}{2\cdot 3\cdot 4} =\frac{21}{24}=0{,}875$$
Отсюда $$\alpha \approx 29^\circ$$.

По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta} \quad \Rightarrow \quad \sin \beta=\sin \alpha \cdot \frac{b}{a}$$
$$\sin \beta \approx \sin 29^\circ \cdot \frac{3}{2}\approx 0{,}4848\cdot 1{,}5\approx 0{,}7272$$
Значит, $$\beta \approx 47^\circ$$.

$$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-29^\circ-47^\circ\approx 104^\circ$$

2) Если $$a=7$$, $$b=2$$, $$c=8$$

$$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{2^2+8^2-7^2}{2\cdot 2\cdot 8} =\frac{19}{32}\approx 0{,}5938$$
Отсюда $$\alpha \approx 54^\circ$$.

$$\sin \beta=\sin \alpha \cdot \frac{b}{a} \approx \sin 54^\circ \cdot \frac{2}{7} \approx 0{,}8090\cdot \frac{2}{7}\approx 0{,}2312$$
Значит, $$\beta \approx 13^\circ$$.

$$\gamma=180^\circ-54^\circ-13^\circ\approx 113^\circ$$

3) Если $$a=4$$, $$b=5$$, $$c=7$$

$$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{5^2+7^2-4^2}{2\cdot 5\cdot 7} =\frac{58}{70}\approx 0{,}8285$$
Отсюда $$\alpha \approx 34^\circ$$.

$$\sin \beta=\sin \alpha \cdot \frac{b}{a} \approx \sin 34^\circ \cdot \frac{5}{4} \approx 0{,}5591\cdot \frac{5}{4}\approx 0{,}6988$$
Значит, $$\beta \approx 44^\circ$$.

$$\gamma=180^\circ-34^\circ-44^\circ\approx 102^\circ$$

4) Если $$a=15$$, $$b=24$$, $$c=18$$

$$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{24^2+18^2-15^2}{2\cdot 24\cdot 18} =\frac{675}{864}\approx 0{,}7813$$
Отсюда $$\alpha \approx 39^\circ$$.

Для угла $$\beta$$:
$$\cos \beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} =\frac{15^2+18^2-24^2}{2\cdot 15\cdot 18} =\frac{-27}{540}=-0{,}05$$
Значит, $$\beta \approx 93^\circ$$.

$$\gamma=180^\circ-39^\circ-93^\circ\approx 48^\circ$$

5) Если $$a=23$$, $$b=17$$, $$c=39$$

$$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{17^2+39^2-23^2}{2\cdot 17\cdot 39} =\frac{1281}{1326}\approx 0{,}9660$$
Отсюда $$\alpha \approx 15^\circ$$.

$$\sin \beta=\sin \alpha \cdot \frac{b}{a} \approx \sin 15^\circ \cdot \frac{17}{23} \approx 0{,}2588\cdot \frac{17}{23}\approx 0{,}1912$$
Значит, $$\beta \approx 11^\circ$$.

$$\gamma=180^\circ-15^\circ-11^\circ\approx 154^\circ$$

6) Если $$a=55$$, $$b=21$$, $$c=38$$

$$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{21^2+38^2-55^2}{2\cdot 21\cdot 38} =\frac{-1141}{1596}\approx -0{,}7143$$
Отсюда $$\alpha \approx 136^\circ$$.

$$\sin \beta=\sin \alpha \cdot \frac{b}{a} \approx \sin 136^\circ \cdot \frac{21}{55} \approx 0{,}6946\cdot \frac{21}{55}\approx 0{,}2652$$
Значит, $$\beta \approx 15^\circ$$.

$$\gamma=180^\circ-136^\circ-15^\circ\approx 29^\circ$$

Ответ:

1) $$\alpha \approx 29^\circ,\ \beta \approx 47^\circ,\ \gamma \approx 104^\circ$$;
2) $$\alpha \approx 54^\circ,\ \beta \approx 13^\circ,\ \gamma \approx 113^\circ$$;
3) $$\alpha \approx 34^\circ,\ \beta \approx 44^\circ,\ \gamma \approx 102^\circ$$;
4) $$\alpha \approx 39^\circ,\ \beta \approx 93^\circ,\ \gamma \approx 48^\circ$$;
5) $$\alpha \approx 15^\circ,\ \beta \approx 11^\circ,\ \gamma \approx 154^\circ$$;
6) $$\alpha \approx 136^\circ,\ \beta \approx 15^\circ,\ \gamma \approx 29^\circ$$.