Упр.11.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. У равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\) и противолежащим углом $$36^\circ$$ проведена биссектриса $$AD$$.
   1) Докажите подобие треугольников $$ABC$$ и $$CAD$$.
   2) Найдите основание треугольника $$ABC$$, если его боковая сторона равна $$a$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$\angle A=\angle C$$.

По сумме углов треугольника:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

откуда

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ.$$

Поскольку $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, имеем

$$\angle BAD=\angle DAC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$ACD$$

$$\angle ADC=180^\circ-\angle DAC-\angle ACD=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ,$$

значит, $$\angle ADC=\angle ACD$$, следовательно, $$\triangle ACD$$ равнобедренный и

$$AD=AC.$$

Кроме того, $$\angle BAD=\angle ABC=36^\circ$$, а $$\angle ACD=\angle ACB=72^\circ$$, поэтому

$$\triangle ABC \sim \triangle CAD$$

по двум углам.

Пусть $$AC=x$$. Тогда из подобия и равенства $$AD=AC$$ получаем для треугольника $$ABD$$:

$$BD=AD=x.$$

Так как $$BC=a$$, то

$$CD=BC-BD=a-x.$$

Из подобия треугольников $$ABC$$ и $$CAD$$:

$$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}.$$

Подставим $$AB=a$$, $$AC=x$$, $$CD=a-x$$:

$$\frac{a}{x}=\frac{x}{a-x},$$

откуда

$$x^2=a(a-x).$$

Получаем квадратное уравнение:

$$x^2+ax-a^2=0.$$

Тогда

$$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2+4a^2}}{2}=\frac{-a\pm a\sqrt5}{2}.$$

Так как $$x>0$$, то

$$AC=x=\frac{a(\sqrt5-1)}{2}.$$

Ответ: $$\frac{a(\sqrt5-1)}{2}$$.