Упр.15.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: основание пирамиды-параллелограмм, у которого стороны
равны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота пирамиды проходит
через точку пересечения диагоналей и равна 4 см;
Найти: боковое ребро пирамиды;
Решение:
1) Пусть PABCD-данная пирамида с основанием ABCD, тогда:
AD=3 см, AB=7 см и BD=6 см;
2) По доказанному в задаче 10.38 сумма квадратов диагоналей парал-
лелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
2(AB^2+AD^2 )=AC^2+BD^2,отсюда AC^2=2(AB^2+AD^2 )-BD^2;
AC^2=2•(7^2+3^2)-6^2=2•(49+9)-36=2•58-36=80;
AC=v80=v(16•5)=4v5 см;
3) Проведем высоту PO пирамиды, тогда по условию задачи:
PO=4 см и точка O лежит на пересечении диагоналей AC и BD;
DO=1/2 BD=3 см и AO=1/2 AC=2v5 см;
4) В прямоугольном треугольнике DOP:
DP=v(DO^2+PO^2 )=v(3^2+4^2 )=v(9+16)=v25=5 см;
5) В прямоугольном треугольнике AOP:
AP=v(AO^2+PO^2 )=v((2v5)^2+4^2 )=v(4•5+16)=v36=6 см.
Ответ: 5 см и 6 см.

Подробный ответ

Пусть $$PABCD$$ — данная пирамида, где $$ABCD$$ — основание-параллелограмм. Тогда $$AB=7$$ см, $$AD=3$$ см, одна из диагоналей равна $$6$$ см. По условию высота $$PO$$ проходит через точку пересечения диагоналей и $$PO=4$$ см.

Найдём вторую диагональ параллелограмма. Для параллелограмма верно:

$$AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2).$$

Подставим данные:

$$AC^2=2(7^2+3^2)-6^2=2(49+9)-36=116-36=80.$$

Тогда

$$AC=\sqrt{80}=4\sqrt{5}.$$

Точка $$O$$ — середина обеих диагоналей параллелограмма, значит

$$DO=\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3,$$

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{4\sqrt{5}}{2}=2\sqrt{5}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DOP$$:

$$DP=\sqrt{DO^2+PO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOP$$: