Упр.10.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 28. Докажите, что для любых векторов а и b (ab)2 < = а2b2.

Пусть угол между векторами $$\vec a$$ и $$\vec b$$ равен $$\varphi$$. Тогда по формуле скалярного произведения

$$\vec a \cdot \vec b = |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\vec a \cdot \vec b\right)^2 = |\vec a|^2\,|\vec b|^2\cos^2\varphi.$$

С другой стороны, для скалярных произведений вектора с самим собой имеем:

$$\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2,\qquad \vec b \cdot \vec b = |\vec b|^2,$$

поэтому

$$a^2b^2 = |\vec a|^2\,|\vec b|^2.$$

Так как для любого угла $$\cos^2\varphi \le 1,$$ то

$$|\vec a|^2\,|\vec b|^2\cos^2\varphi \le |\vec a|^2\,|\vec b|^2.$$

Следовательно,

$$\left(\vec a \cdot \vec b\right)^2 \le a^2b^2.$$

Ответ

$$\left(\vec a \cdot \vec b\right)^2 \le a^2b^2.$$