Упр.6.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10 см.

Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, $$AB=10$$ см — его меньшая сторона. Тогда $$\angle A=90^\circ$$.

Так как $$AM$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle BAM=\frac{\angle A}{2}=45^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABM$$. В нём

$$\angle BMA=90^\circ-\angle BAM=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Значит, треугольник $$ABM$$ равнобедренный, поэтому

$$BM=AB=10\text{ см}.$$

По условию $$BM=MC$$, следовательно,

$$BC=BM+MC=10+10=20\text{ см}.$$

Тогда периметр прямоугольника равен

$$P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(10+20)=60\text{ см}.$$

Ответ: $$60$$ см.