Упр.3.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — равнобедренные треугольники, у которых $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$\angle C=\angle C_1=90^\circ$$. Докажем, что $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$.

Построим треугольники $$CBD$$ и $$C_1B_1D_1$$ так, что $$D\in AC$$, $$D_1\in A_1C_1$$. Тогда в равнобедренных треугольниках имеем $$AC=CD$$ и $$A_1C_1=C_1D_1$$, значит

$$AD=AC+CD=A_1C_1+C_1D_1=A_1D_1.$$

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$. У них

$$AB=A_1B_1,$$

$$BD=B_1D_1,$$

$$AD=A_1D_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$$ по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда

$$\angle A=\angle A_1.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем

$$AB=A_1B_1,$$

$$AC=A_1C_1,$$

$$\angle A=\angle A_1.$$

Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по первому признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.