Упр.4.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и углом при вершине B, равным $$36^\circ$$, проведена биссектриса AD. Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные (рис. 88).

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$\angle BAC=\angle BCA$$.

Найдём углы при основании:

$$\angle BAC+\angle BCA+\angle ABC=180^\circ,$$
$$2\angle BAC=180^\circ-36^\circ=144^\circ,$$
$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{144^\circ}{2}=72^\circ.$$

Поскольку $$AD$$ — биссектриса угла $$BAC$$, имеем:

$$\angle BAD=\angle DAC=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot 72^\circ=36^\circ.$$

В треугольнике $$ABD$$ углы $$\angle BAD$$ и $$\angle ABD$$ равны $$36^\circ$$, значит $$\triangle ABD$$ равнобедренный.

Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$:

$$\angle DAC+\angle ACD+\angle ADC=180^\circ,$$
$$\angle ADC=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ.$$

Следовательно, $$\angle ADC=\angle ACD$$, значит $$\triangle ADC$$ равнобедренный.

Итак, треугольники $$CDA$$ и $$ADB$$ равнобедренные.