Упр.15.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны $$3\ \text{см}$$ и $$7\ \text{см}$$, а одна из диагоналей $$6\ \text{см}$$; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна $$4\ \text{см}$$. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть $$PABCD$$ — данная пирамида, где основание $$ABCD$$ — параллелограмм. Тогда $$AB=7$$ см, $$AD=3$$ см, одна из диагоналей $$BD=6$$ см.

По свойству параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон:

$$AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2).$$

Отсюда

$$AC^2=2(AB^2+AD^2)-BD^2=2(7^2+3^2)-6^2=2(49+9)-36=80,$$

значит,

$$AC=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\text{ см}.$$

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда

$$DO=\frac{1}{2}BD=3\text{ см}, \qquad AO=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{5}\text{ см}.$$

Высота пирамиды $$PO=4$$ см, поэтому треугольники $$DOP$$ и $$AOP$$ прямоугольные.

В треугольнике $$DOP$$:

$$DP=\sqrt{DO^2+PO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{ см}.$$

В треугольнике $$AOP$$:

$$AP=\sqrt{AO^2+PO^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+4^2}=\sqrt{20+16}=\sqrt{36}=6\text{ см}.$$

Ответ: $$5\text{ см}$$ и $$6\text{ см}$$.