Упр.14.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите площадь треугольника по стороне $$a$$ и прилежащим к ней углам $$\alpha$$ и $$\beta$$.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=a,$$ $$\angle A=\alpha,$$ $$\angle B=\beta.$$

Тогда по теореме о сумме углов треугольника

$$\angle C=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

По теореме синусов:

$$\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{AB}{\sin \angle C},$$

откуда

$$AC=\frac{\sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot a.$$

Теперь найдём площадь треугольника:

$$S=\frac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A =\frac12 \cdot a \cdot \frac{\sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot a \cdot \sin \alpha.$$

Следовательно,

$$S=\frac{a^2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}.$$

Ответ

$$\frac{a^2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}$$