Упр.11.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Диагонали трапеции пересекаются в точке $$E$$, а продолжения боковых сторон — в точке $$F$$. Докажите, что прямая $$EF$$ делит основания трапеции пополам (рис. 259).
Пусть прямая $$EF$$ пересекает основание $$BC$$ в точке $$N$$, а основание $$AD$$ — в точке $$M$$.
Рассмотрим параллельные прямые $$AD$$ и $$BC$$. Тогда
$$\angle DAF=\angle CBF$$
как соответственные углы при секущей $$AF$$,
$$\angle FNB=\angle FMA$$
как соответственные углы при секущей $$FM$$,
$$\angle ADF=\angle NCF$$
как соответственные углы при секущей $$DF$$.
Следовательно, $$\triangle AFD \sim \triangle BFC$$ по двум углам, значит
$$\frac{AF}{BF}=\frac{DF}{CF}=\frac{AD}{BC}=k.$$
Аналогично, $$\triangle AFM \sim \triangle BFN$$, поэтому
$$\frac{AM}{BN}=\frac{AF}{BF}=k.$$
И, наконец, $$\triangle DFM \sim \triangle CFN$$, откуда
$$\frac{DM}{CN}=\frac{DF}{CF}=k.$$
Тогда
$$\frac{AM}{BN}=\frac{DM}{CN}=k,$$
то есть $$AM=k\cdot BN$$ и $$DM=k\cdot CN$$.
Так как прямая $$MN$$ проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, то по свойству, доказанному в задаче 11.23,
$$\frac{BG}{CN}=\frac{DM}{AM}.$$
Подставляя найденные выражения, получаем
$$\frac{BG}{CN}=\frac{k\cdot CN}{k\cdot BN}=\frac{CN}{BN},$$
откуда $$BN=CN$$.
Тогда из $$\frac{DM}{AM}=\frac{BN}{CN}=1$$ следует, что $$DM=AM$$.
Значит, точки $$M$$ и $$N$$ — середины оснований $$AD$$ и $$BC$$, то есть прямая $$EF$$ делит основания трапеции пополам.
