Упр.12.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
1) а = 12, b = 8, гамма = 60°;
2) а = 7, b = 23, гамма = 130°;
3) a = 9, с = 17, альфа = 95°;
4) b = 14, с = 10, альфа = 145°;
5) а = 32, с = 23, бета = 152°;
6) а = 24, с = 18, бета = 15°.
Во всех пунктах используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны и теорему синусов для нахождения одного из углов. Затем находим третий угол по сумме углов треугольника:
$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ.$$
I) Если $$a=12,$$ $$b=8,$$ $$\gamma=60^\circ,$$ то
$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$$
$$c=\sqrt{12^2+8^2-2\cdot 12\cdot 8\cdot \cos 60^\circ}$$
$$c=\sqrt{144+64-192\cdot 0{,}5}=\sqrt{112}\approx 10{,}6.$$
По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}, \qquad \sin\alpha=\sin\gamma\cdot \frac{a}{c}$$
$$\sin\alpha=\sin 60^\circ\cdot \frac{12}{10{,}6}\approx 0{,}9803,$$
значит $$\alpha\approx 79^\circ.$$
$$\beta=180^\circ-\alpha-\gamma=180^\circ-79^\circ-60^\circ\approx 41^\circ.$$
Ответ: $$c\approx 10{,}6,$$ $$\alpha\approx 79^\circ,$$ $$\beta\approx 41^\circ.$$
II) Если $$a=7,$$ $$b=23,$$ $$\gamma=130^\circ,$$ то
$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$$
$$c=\sqrt{7^2+23^2-2\cdot 7\cdot 23\cdot \cos 130^\circ}$$
$$c=\sqrt{49+529+322\cdot 0{,}6428}=\sqrt{785}\approx 28.$$
По теореме синусов:
$$\sin\alpha=\sin 130^\circ\cdot \frac{7}{28}\approx 0{,}1915,$$
значит $$\alpha\approx 11^\circ.$$
$$\beta=180^\circ-130^\circ-11^\circ\approx 39^\circ.$$
Ответ: $$c\approx 28,$$ $$\alpha\approx 11^\circ,$$ $$\beta\approx 39^\circ.$$
III) Если $$b=9,$$ $$c=17,$$ $$\alpha=95^\circ,$$ то
$$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha}$$
$$a=\sqrt{9^2+17^2-2\cdot 9\cdot 17\cdot \cos 95^\circ}$$
$$a=\sqrt{81+289-306\cdot 0{,}0871}=\sqrt{396{,}7}\approx 19{,}9.$$
По теореме синусов:
$$\sin\beta=\sin 95^\circ\cdot \frac{9}{19{,}9}\approx 0{,}4505,$$
значит $$\beta\approx 27^\circ.$$
$$\gamma=180^\circ-95^\circ-27^\circ\approx 58^\circ.$$
Ответ: $$a\approx 19{,}9,$$ $$\beta\approx 27^\circ,$$ $$\gamma\approx 58^\circ.$$
IV) Если $$b=14,$$ $$c=10,$$ $$\alpha=145^\circ,$$ то
$$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha}$$
$$a=\sqrt{14^2+10^2-2\cdot 14\cdot 10\cdot \cos 145^\circ}$$
$$a=\sqrt{196+100+280\cdot 0{,}8191}=\sqrt{525{,}3}\approx 22{,}9.$$
По теореме синусов:
$$\sin\beta=\sin 145^\circ\cdot \frac{14}{22{,}9}\approx 0{,}3506,$$
значит $$\beta\approx 21^\circ.$$
$$\gamma=180^\circ-145^\circ-21^\circ\approx 14^\circ.$$
Ответ: $$a\approx 22{,}9,$$ $$\beta\approx 21^\circ,$$ $$\gamma\approx 14^\circ.$$
V) Если $$a=32,$$ $$c=23,$$ $$\beta=152^\circ,$$ то
$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta}$$
$$b=\sqrt{32^2+23^2-2\cdot 32\cdot 23\cdot \cos 152^\circ}$$
$$b=\sqrt{1024+529+1472\cdot 0{,}8829}=\sqrt{2853}\approx 53{,}4.$$
По теореме синусов:
$$\sin\alpha=\sin 152^\circ\cdot \frac{32}{53{,}4}\approx 0{,}2813,$$
значит $$\alpha\approx 16^\circ.$$
$$\gamma=180^\circ-152^\circ-16^\circ\approx 12^\circ.$$
Ответ: $$b\approx 53{,}4,$$ $$\alpha\approx 16^\circ,$$ $$\gamma\approx 12^\circ.$$
VI) Если $$a=24,$$ $$c=18,$$ $$\beta=15^\circ,$$ то
$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta}$$
$$b=\sqrt{24^2+18^2-2\cdot 24\cdot 18\cdot \cos 15^\circ}$$
$$b=\sqrt{576+324-864\cdot 0{,}9659}=\sqrt{65{,}5}\approx 8{,}1.$$
По теореме синусов:
$$\sin\gamma=\sin 15^\circ\cdot \frac{18}{8{,}1}\approx 0{,}5751,$$
значит $$\gamma\approx 35^\circ.$$
$$\alpha=180^\circ-15^\circ-35^\circ\approx 130^\circ.$$
Ответ: $$b\approx 8{,}1,$$ $$\alpha\approx 130^\circ,$$ $$\gamma\approx 35^\circ.$$
